Проклятые числа как оборотни
Ферма первый понял, что бесконечно малые величины можно складывать и сокращать, но довольно затруднительно изображать в виде отрезков. Понадобилось почти столетие, чтобы Жан д’Аламбер в знаменитой «Энциклопедии» признал: «Ферма был изобретателем новых исчислений. Именно у него мы встречаем первое приложение дифференциалов для нахождения касательных». В конце XVIII века еще более определенно выскажется Жозеф Луи граф де Лагранж: «Но геометры - современники Ферма - не поняли этого нового рода исчисления. Они усмотрели лишь частные случаи. И это изобретение, которое появилось незадолго перед «Геометрией» Декарта, оставалось бесплодным в течении сорока лет». Лагранж имеет в виду 1674 г., когда вышли в свет «Лекции» Исаака Барроу, подробно освещавшие метод Ферма Кроме всего прочего быстро обнаружилось, что Ферма более склонен формулировать новые проблемы, нежели, чем смиренно решать задачи, предложенные метрами.
В эпоху дуэлей обмен задачами между учеными мужами был общепринят, как форма выяснения проблем, связанных с субординацией. Однако Ферма явно не знает меры. Каждое его письмо - это вызов, содержащий десятки сложных нерешенных задач, причем на самые неожиданные темы. Вот образчик его стиля (адресовано Френиклю де Бесси) : «Item, каков наименьший квадрат, который при уменьшении на 109 и прибавлении единицы даст квадрат? Если Вы не пришлете мне общего решения, то пришлите частное для этих двух чисел, которые я выбрал небольшими, чтобы Вас не очень затруднить. После того как Я получу от Вас ответ, я предложу Вам некоторые другие вещи. Ясно без особых оговорок, что в моем предложении требуется найти целые числа, поскольку в случае дробных чисел самый незначительный арифметик смог бы прийти к цели.» Ферма часто повторялся, формулируя одни и те же вопросы по несколько раз, и откровенно блефовал, утверждая, что располагает необыкновенно изящным решением предложенной задачи. Не обходилось и без прямых ошибок. Некоторые из них были замечены современниками, а кое какие коварные утверждения вводили в заблуждение читателей в течении столетий. Кружок Мерсенна прореагировал адекватно. Лишь Робервиль, единственный член кружка, имевший проблемы с происхождением, сохраняет дружеский тон писем.
Добрый пастырь отец Мерсенн пытался вразумить «тулузского нахала». Но Ферма не намерен оправдываться:» Преподобный отец! Вы мне пишете, что постановка моих невозможных проблем рассердила и охладила господ Сен-Мартена и Френикля и что это послужило причиной прекращения их писем. Однако я хочу возразить им, что то, что кажется сначала невозможным, на самом деле не является таковым и что есть много проблем, о которых, как сказал Архимед...» и т.д Однако Ферма лукавит. Именно Френиклю он послал задачу о нахождении прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, площадь которого равна квадрату целого числа. Послал, хотя знал, что задача заведомо не имеет решения. Самую враждебную позицию по отношению к Ферма занял Декарт. В его письме Мерсенну от 1938 г. читаем: «так как я узнал, что это тот самый человек который перед тем пытался опровергнуть мою «Диоптрику» , и так как Вы сообщили мне, что он послал это после того, как прочел мою «Геометрию» и в удивлении, что я не нашел ту же вещь, т.е. (как имею основание его истолковать) послал это с целью вступить в соперничество и показать, что в этом он знает больше, чем я, и так как еще из ваших писем я узнал, что за ним числится репутация весьма сведущего геометра, то я считаю себя обязанным ему ответить.» Свой ответ Декарт в последствии торжественно обозначит как «малый процесс Математики против г. Ферма». Легко понять, что привело в ярость именитого ученого. Во-первых, в рассуждениях Ферма постоянно фигурируют координатные оси и представление чисел отрезками - прием, который Декарт всесторонне развивает в своей только что изданной «Геометрии». Ферма приходит к идее замены чертежа вычислениями совершенно самостоятельно, в чем-то он даже более последователен, чем Декарт.
Во-вторых, Ферма блестяще демонстрирует эффективность своего метода нахождения минимумов на примере задачи о кратчайшем пути светового луча, уточняя и дополняя Декарта с его «Диоптрикой» Заслуги Декарта как мыслителя и новатора огромны, но откроем современную «Математическую энциклопедию» и просмотрим список терминов связанных с его именем: «Декартовы координаты» (Лейбниц, 1692) , «Декартов лист» , «Декарта овалы». Ни одно из его рассуждений не вошло в историю как «Теорема Декарта». Декарт в первую очередь идеолог: он основатель философской школы, он формирует понятия, совершенствует систему буквенных обозначений, но в его творческом наследии мало новых конкретных приемов. В противоположность ему Пьер Ферма мало пишет, но по любому поводу может придумать массу остроумных математических трюков (см. там же «Теорема Ферма» ,» Принцип Ферма» ,» Метод бесконечного спуска Ферма» ).
Вероятно, они вполне справедливо завидовали друг другу. Столкновение было неизбежно. При иезуитском посредничестве Мерсенна разгорается война, длившаяся два года. Впрочем, Мерсенн и здесь оказался прав перед историей: яростная схватка двух титанов, их напряженная, мягко говоря, полемика способствовала осмыслению ключевых понятий математического анализа. Первым теряет интерес к дискуссии Ферма. По-видимому, он напрямую объяснился с Декартом и больше никогда не задевал соперника. В одной из своих последних работ «Синтез для рефракции» , рукопись которой он послал де ла Шамбру, Ферма через слово поминает «ученейшего Декарта» и всячески подчеркивает его приоритет в вопросах оптики. Между тем именно эта рукопись содержала описание знаменитого «принципа Ферма» , который обеспечивает исчерпывающее объяснение законов отражения и преломления света. Реверансы в сторону Декарта в работе такого уровня были совершенно излишни. Что же произошло? Почему Ферма, отложив в сторону самолюбие, пошел на примирение? Читая письма Ферма тех лет (1638 - 1640 г г.) , можно предположить самое простое: в этот период его научные интересы резко изменились.
Он забрасывает модную циклоиду, перестает интересоваться касательными и площадями, и на долгие 20 лет забывает о своем методе нахождения максимума. Имея огромные заслуги в математике непрерывного, Ферма целиком погружается в математику дискретного, оставив опостылевшие геометрические чертежи своим оппонентам. Его новой страстью становятся числа. Собственно говоря, вся «Теория чисел» , как самостоятельная математическая дисциплина, своим появлением на свет целиком обязана жизни и творчеству Ферма В трудах древних, с их культом чертежа, мы находим удивительно мало исследований по теории чисел. Евклид отмечает кое-какие правила делимости и доказывает бесконечность множества простых чисел. Можно также припомнить cribrum Eratosthenis (решето Эратосфена) - метод выделения простых чисел из натурального ряда. Вот, пожалуй, и все. Особняком стоят сочинения Диофанта (III век до н.э.) , который рассматривал задачи о представлении чисел и решал неопределенные уравнения в целых числах. Из тринадцати книг его «Арифметики» до наших дней дошло лишь шесть. В Европе переводы сочинений Диофанта на латинский и французский языки появились лишь в начале XVII в. Баше де Мезириак в 1621 г. издал перевод «Арифметики» с собственными подробными комментариями и дополнениями.
Именно это издание, попавшись в руки Ферма, сыграет выдающуюся роль в истории математики Ферма внимательнейшим образом штудирует «Арифметику» и помещает на полях книги 46 замечаний к тексту. Кроме этих пометок, положения из теории чисел (в основном без доказательств) рассеяны в письмах Ферма. Этого вполне хватило для возникновения нового направления в математике. После смерти Ферма его сын Самюэль издал в 1670 г. принадлежащий отцу экземпляр «Арифметики» под названием «Шесть книг арифметики александрийца Диофанта с комментариями Л. Г. Баше и замечаниями П. де Ферма, тулузского сенатора». В книгу были включены также некоторые письма Декарта и полный текст сочинения Жака де Бильи «Новое открытие в искусстве анализа» , написанное на основе писем Ферма. Издание имело невероятный успех. Перед изумленными специалистами открылся невиданный яркий мир. Неожиданность, а главное доступность, демократичность теоретико-числовых результатов Ферма породили массу подражаний. В то время мало кто понимал как вычисляется площадь параболы, но каждый школяр мог осознать формулировку Великой теоремы Ферма. Началась настоящая охота за неизвестными и утерянными письмами ученого. До конца XVII в. было издано и переиздано каждое найденное его слово.
Но бурная история развития идей Ферма только начиналась. В последствии Ферма объяснит свое увлечение числами в письме английским математикам Дигби и Броункеру. Это письмо имеет специальный подзаголовок: «Второй вызов Ферма математикам». Ферма пишет: «Едва ли кто-нибудь может предложить или даже понять чисто арифметические задачи. Ибо разве Арифметика не толковалась скорее геометрически, чем арифметически. Это подтверждает большинство трудов древних и новых авторов; подтверждают это и труды самого Диофанта. Он несколько более других отдалился от геометрии, когда начал излагать Аналитику в рациональных числах; однако и эта часть не совсем лишена геометрии, что вполне доказали книги Виета «Зететика» , где метод Диофанта переносится на непрерывные величины, а значит, и на геометрию.... Лишь я, словно идущий впереди факелоносец, предлагаю вам для доказательства или построения следующую теорему или задачу. Если вы ее решите, то поймете, что задачи такого рода ни тонкостью, ни трудностью, ни способом доказательства не уступают знаменитейшим проблемам геометрии» Что же искал и что открыл Пьер Ферма, занимаясь числами? Рискнем предположить, что более всего Ферма интересовали способы построения простых чисел.
Он мечтал найти явную формулу, которая позволяет быстро вычислять сколь угодно большие простые числа. На полях «Арифметики» он высказал предположение, что таким «генератором» простых чисел будет формула , n = 0,1,2,... Действительно, при n = 0,1,2,3,4 получаем простые числа 3,5,17,257,65537. Ферма полагал, что при всех прочих n числа F (n) - простые, и неоднократно предлагал своим корреспондентам доказать этот результат. Понадобилось сто лет, чтобы Леонард Эйлер в 1733 г. опроверг утверждение Ферма. Это произошло с подачи Христиана Гольдбаха, который в 1729 г. писал находившемуся в Петербурге Эйлеру: «Известно ли тебе замечание Ферма о том, что все числа вида именно 3,5,17 и т.д.. суть простые, причем сам он, по его признанию, не смог этого доказать и, насколько я знаю, после него никто не доказал». Эйлер пару лет подумал и показал, что уже при n = 5 число F (5) делится на 641: Для получения этого результата Эйлеру пришлось испытать 160 делителей. Составными оказались и многие другие числа Ферма (при n =6,7,8,9,10,11,12,15,16,18,23,36,38,73). Наибольшее из известных в настоящий момент составных чисел Ферма F (452) состоит из 10 135 цифр и делится на 27Ч 2 455 +1 (показано с помощью ЭВМ). Справедливости ради следует подчеркнуть, что Ферма, считая числа F ( n ) простыми, никогда не утверждал, что располагает доказательством этого факта. С другой стороны к настоящему времени известно столько же простых чисел Ферма, сколько из знали во времена Ферма, а именно: 3,5,17,257,65537 Итак, Ферма ошибался.
Его формула производила в основном составные, а не простые числа. Однако, идея «генерирования» простых чисел была воспринята с энтузиазмом. Все тот же отнюдь не легкомысленный Эйлер предложил многочлен x 2 - x +41, который при всех целых x от 0 до 40 дает только простые числа. Эйлер не поленился проделать эти вычисления, хотя прекрасно знал, что многочлен с целыми коэффициентами не может при всех натуральных значениях аргумента принимать только простые значения. Сегодня, несмотря на усилия сотен профессионалов и тысяч дилетантов, мы по-прежнему не умеем вычислять сколь угодно большие простые числа, хотя знаем массу нюансов об их распределении. Один из самых ярких результатов этой области принадлежит академику Пафнутию Львовичу Чебышеву (1850) : число простых чисел не превосходящих n приблизительно равно при n ® Ґ Ферма ошибся, но Ферма был бы не Ферма, если бы позволил хоть одной своей теореме бесславно кануть в лету. «Проклятые числа как оборотни» вылезали в самых далеких от теории чисел исследованиях.
В 1796 г. 19-летний студент Геттингенского университета Карл Фридрих Гаусс произвел сенсацию, доказав теорему: правильный многоугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число его сторон равно 2 a p 1 p 2... p b , где все простые числа p i являются числами Ферма, т.е. имеют вид. То была месть Ферма спесивым геометрам. Теорема Гаусса подвела черту под многовековыми спорами относительно возможности построения правильных многоугольников и сэкономила массу времени любителям математики. Из этой теоремы следует, что можно построить правильные 3-, 5-, 17-, 257-, 65537- и другие многоугольники и нельзя построить, например, правильные 7-, 11-, 13- угольники. Для неверующих Гаусс не поленился построить правильный 17-угольник. Занимаясь тайнами простых чисел Ферма сформулировал много положений о представимости чисел квадратичными формами.
Например, он обнаружил следующие удивительно простые и глубокие закономерности: 1. Формой x 2 + y 2 представимы все простые числа, которые лежат в прогрессии 4 n +1, причем каждое из них представимо этой формой единственным образом. Ни одно простое число из прогрессии 4 n +3 не представимо суммою двух квадратов. 2. Формой x 2 +2y 2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8 n +1 и 8 n +3. Ни одно простое число из прогрессий 8 n +5 и 8 n +7 не представимо в виде x 2 +2 y 2 3. Формой x 2 -2y 2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8 n +1 и 8 n +7. Ни одно простое число из прогрессий 8 n +5 и 8 n +3 не представимо в виде x 2 -2 y 2 4. Формами x 2 +3y 2 и x 2 + xy + y 2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессии 3 n +1. Ни одно простое число из прогрессии 3 n +2 не представимо указанными формами Ферма оставил крайне мало пояснений, дающих возможность установить, как ему удалось получить эти в высшей степени общие результаты. Лишь перед смертью в письме к де Каркави Ферма частично обосновал положение (1) с помощью своего метода бесконечного спуска. Можно лишь пожалеть современников Ферма, которые регулярно получали вариации на тему утверждений (1) - (4) в качестве задач. Первые полные доказательства этих утверждений удалось получить лишь Эйлеру.
Попутно он сформулировал очень важную теорему о делимости - так называемой квадратичный закон взаимности, доказательство которого дал Гаусс. Через увлечение квадратичными формами прошли Лагранж, Лежандр, Чебышев, а в наше век - Вейль, Артин и многие другие блестящие математики. Как всегда идеи Ферма оказались чрезвычайно плодотворны в смысле построения далеко идущих обобщений и формирования новых понятий. Добрая половина терминов современной абстрактной алгебры возникла из попыток доказать утверждения Ферма Один из важнейших результатов Ферма получил специальное название «Малая теорема Ферма». Это фундаментальный факт теории делимости на простые числа: для любого простого p и любого aі 1, которое не делится на p , разность a p -1 -1 делится на p. Например, пусть a=5, p=2,3,7, 11. Тогда 5 2-1 -1=2Ч 2,5 3-1 -1=3Ч 8,5 7-1 -1=7Ч 2232,5 11-1 -1=11Ч 8878. Ферма высказал эту теорему в письме Френиклю де Бесси в 1640 г. с обычным для него замечанием: «... я бы Вам прислал доказательство, если бы не опасался быть слишком длинным»
Первое доказательство «Малой теоремы Ферма» дал Лейбниц. Затем Эйлер, начиная с 1736 г., публикует сразу три различных доказательства, которые показывают, что Ферма вполне мог уметь доказывать свою теорему. Потомки часто искали элементарные доказательства утверждений Ферма, пытаясь понять насколько лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновали Эйлера на протяжении всей жизни. В 1760 г. он получил существенное обобщение его «Малой теоремы» : пусть j ( m ) - число натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Тогда для любого m и любого aі 1, взаимно простого с m , разность aj ( m ) -1 делится на m. Эту терему Эйлер скромно опубликовал в качестве четвертого доказательства «Малой теоремы Ферма»
В эпоху дуэлей обмен задачами между учеными мужами был общепринят, как форма выяснения проблем, связанных с субординацией. Однако Ферма явно не знает меры. Каждое его письмо - это вызов, содержащий десятки сложных нерешенных задач, причем на самые неожиданные темы. Вот образчик его стиля (адресовано Френиклю де Бесси) : «Item, каков наименьший квадрат, который при уменьшении на 109 и прибавлении единицы даст квадрат? Если Вы не пришлете мне общего решения, то пришлите частное для этих двух чисел, которые я выбрал небольшими, чтобы Вас не очень затруднить. После того как Я получу от Вас ответ, я предложу Вам некоторые другие вещи. Ясно без особых оговорок, что в моем предложении требуется найти целые числа, поскольку в случае дробных чисел самый незначительный арифметик смог бы прийти к цели.» Ферма часто повторялся, формулируя одни и те же вопросы по несколько раз, и откровенно блефовал, утверждая, что располагает необыкновенно изящным решением предложенной задачи. Не обходилось и без прямых ошибок. Некоторые из них были замечены современниками, а кое какие коварные утверждения вводили в заблуждение читателей в течении столетий. Кружок Мерсенна прореагировал адекватно. Лишь Робервиль, единственный член кружка, имевший проблемы с происхождением, сохраняет дружеский тон писем.
Добрый пастырь отец Мерсенн пытался вразумить «тулузского нахала». Но Ферма не намерен оправдываться:» Преподобный отец! Вы мне пишете, что постановка моих невозможных проблем рассердила и охладила господ Сен-Мартена и Френикля и что это послужило причиной прекращения их писем. Однако я хочу возразить им, что то, что кажется сначала невозможным, на самом деле не является таковым и что есть много проблем, о которых, как сказал Архимед...» и т.д Однако Ферма лукавит. Именно Френиклю он послал задачу о нахождении прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, площадь которого равна квадрату целого числа. Послал, хотя знал, что задача заведомо не имеет решения. Самую враждебную позицию по отношению к Ферма занял Декарт. В его письме Мерсенну от 1938 г. читаем: «так как я узнал, что это тот самый человек который перед тем пытался опровергнуть мою «Диоптрику» , и так как Вы сообщили мне, что он послал это после того, как прочел мою «Геометрию» и в удивлении, что я не нашел ту же вещь, т.е. (как имею основание его истолковать) послал это с целью вступить в соперничество и показать, что в этом он знает больше, чем я, и так как еще из ваших писем я узнал, что за ним числится репутация весьма сведущего геометра, то я считаю себя обязанным ему ответить.» Свой ответ Декарт в последствии торжественно обозначит как «малый процесс Математики против г. Ферма». Легко понять, что привело в ярость именитого ученого. Во-первых, в рассуждениях Ферма постоянно фигурируют координатные оси и представление чисел отрезками - прием, который Декарт всесторонне развивает в своей только что изданной «Геометрии». Ферма приходит к идее замены чертежа вычислениями совершенно самостоятельно, в чем-то он даже более последователен, чем Декарт.
Во-вторых, Ферма блестяще демонстрирует эффективность своего метода нахождения минимумов на примере задачи о кратчайшем пути светового луча, уточняя и дополняя Декарта с его «Диоптрикой» Заслуги Декарта как мыслителя и новатора огромны, но откроем современную «Математическую энциклопедию» и просмотрим список терминов связанных с его именем: «Декартовы координаты» (Лейбниц, 1692) , «Декартов лист» , «Декарта овалы». Ни одно из его рассуждений не вошло в историю как «Теорема Декарта». Декарт в первую очередь идеолог: он основатель философской школы, он формирует понятия, совершенствует систему буквенных обозначений, но в его творческом наследии мало новых конкретных приемов. В противоположность ему Пьер Ферма мало пишет, но по любому поводу может придумать массу остроумных математических трюков (см. там же «Теорема Ферма» ,» Принцип Ферма» ,» Метод бесконечного спуска Ферма» ).
Вероятно, они вполне справедливо завидовали друг другу. Столкновение было неизбежно. При иезуитском посредничестве Мерсенна разгорается война, длившаяся два года. Впрочем, Мерсенн и здесь оказался прав перед историей: яростная схватка двух титанов, их напряженная, мягко говоря, полемика способствовала осмыслению ключевых понятий математического анализа. Первым теряет интерес к дискуссии Ферма. По-видимому, он напрямую объяснился с Декартом и больше никогда не задевал соперника. В одной из своих последних работ «Синтез для рефракции» , рукопись которой он послал де ла Шамбру, Ферма через слово поминает «ученейшего Декарта» и всячески подчеркивает его приоритет в вопросах оптики. Между тем именно эта рукопись содержала описание знаменитого «принципа Ферма» , который обеспечивает исчерпывающее объяснение законов отражения и преломления света. Реверансы в сторону Декарта в работе такого уровня были совершенно излишни. Что же произошло? Почему Ферма, отложив в сторону самолюбие, пошел на примирение? Читая письма Ферма тех лет (1638 - 1640 г г.) , можно предположить самое простое: в этот период его научные интересы резко изменились.
Он забрасывает модную циклоиду, перестает интересоваться касательными и площадями, и на долгие 20 лет забывает о своем методе нахождения максимума. Имея огромные заслуги в математике непрерывного, Ферма целиком погружается в математику дискретного, оставив опостылевшие геометрические чертежи своим оппонентам. Его новой страстью становятся числа. Собственно говоря, вся «Теория чисел» , как самостоятельная математическая дисциплина, своим появлением на свет целиком обязана жизни и творчеству Ферма В трудах древних, с их культом чертежа, мы находим удивительно мало исследований по теории чисел. Евклид отмечает кое-какие правила делимости и доказывает бесконечность множества простых чисел. Можно также припомнить cribrum Eratosthenis (решето Эратосфена) - метод выделения простых чисел из натурального ряда. Вот, пожалуй, и все. Особняком стоят сочинения Диофанта (III век до н.э.) , который рассматривал задачи о представлении чисел и решал неопределенные уравнения в целых числах. Из тринадцати книг его «Арифметики» до наших дней дошло лишь шесть. В Европе переводы сочинений Диофанта на латинский и французский языки появились лишь в начале XVII в. Баше де Мезириак в 1621 г. издал перевод «Арифметики» с собственными подробными комментариями и дополнениями.
Именно это издание, попавшись в руки Ферма, сыграет выдающуюся роль в истории математики Ферма внимательнейшим образом штудирует «Арифметику» и помещает на полях книги 46 замечаний к тексту. Кроме этих пометок, положения из теории чисел (в основном без доказательств) рассеяны в письмах Ферма. Этого вполне хватило для возникновения нового направления в математике. После смерти Ферма его сын Самюэль издал в 1670 г. принадлежащий отцу экземпляр «Арифметики» под названием «Шесть книг арифметики александрийца Диофанта с комментариями Л. Г. Баше и замечаниями П. де Ферма, тулузского сенатора». В книгу были включены также некоторые письма Декарта и полный текст сочинения Жака де Бильи «Новое открытие в искусстве анализа» , написанное на основе писем Ферма. Издание имело невероятный успех. Перед изумленными специалистами открылся невиданный яркий мир. Неожиданность, а главное доступность, демократичность теоретико-числовых результатов Ферма породили массу подражаний. В то время мало кто понимал как вычисляется площадь параболы, но каждый школяр мог осознать формулировку Великой теоремы Ферма. Началась настоящая охота за неизвестными и утерянными письмами ученого. До конца XVII в. было издано и переиздано каждое найденное его слово.
Но бурная история развития идей Ферма только начиналась. В последствии Ферма объяснит свое увлечение числами в письме английским математикам Дигби и Броункеру. Это письмо имеет специальный подзаголовок: «Второй вызов Ферма математикам». Ферма пишет: «Едва ли кто-нибудь может предложить или даже понять чисто арифметические задачи. Ибо разве Арифметика не толковалась скорее геометрически, чем арифметически. Это подтверждает большинство трудов древних и новых авторов; подтверждают это и труды самого Диофанта. Он несколько более других отдалился от геометрии, когда начал излагать Аналитику в рациональных числах; однако и эта часть не совсем лишена геометрии, что вполне доказали книги Виета «Зететика» , где метод Диофанта переносится на непрерывные величины, а значит, и на геометрию.... Лишь я, словно идущий впереди факелоносец, предлагаю вам для доказательства или построения следующую теорему или задачу. Если вы ее решите, то поймете, что задачи такого рода ни тонкостью, ни трудностью, ни способом доказательства не уступают знаменитейшим проблемам геометрии» Что же искал и что открыл Пьер Ферма, занимаясь числами? Рискнем предположить, что более всего Ферма интересовали способы построения простых чисел.
Он мечтал найти явную формулу, которая позволяет быстро вычислять сколь угодно большие простые числа. На полях «Арифметики» он высказал предположение, что таким «генератором» простых чисел будет формула , n = 0,1,2,... Действительно, при n = 0,1,2,3,4 получаем простые числа 3,5,17,257,65537. Ферма полагал, что при всех прочих n числа F (n) - простые, и неоднократно предлагал своим корреспондентам доказать этот результат. Понадобилось сто лет, чтобы Леонард Эйлер в 1733 г. опроверг утверждение Ферма. Это произошло с подачи Христиана Гольдбаха, который в 1729 г. писал находившемуся в Петербурге Эйлеру: «Известно ли тебе замечание Ферма о том, что все числа вида именно 3,5,17 и т.д.. суть простые, причем сам он, по его признанию, не смог этого доказать и, насколько я знаю, после него никто не доказал». Эйлер пару лет подумал и показал, что уже при n = 5 число F (5) делится на 641: Для получения этого результата Эйлеру пришлось испытать 160 делителей. Составными оказались и многие другие числа Ферма (при n =6,7,8,9,10,11,12,15,16,18,23,36,38,73). Наибольшее из известных в настоящий момент составных чисел Ферма F (452) состоит из 10 135 цифр и делится на 27Ч 2 455 +1 (показано с помощью ЭВМ). Справедливости ради следует подчеркнуть, что Ферма, считая числа F ( n ) простыми, никогда не утверждал, что располагает доказательством этого факта. С другой стороны к настоящему времени известно столько же простых чисел Ферма, сколько из знали во времена Ферма, а именно: 3,5,17,257,65537 Итак, Ферма ошибался.
Его формула производила в основном составные, а не простые числа. Однако, идея «генерирования» простых чисел была воспринята с энтузиазмом. Все тот же отнюдь не легкомысленный Эйлер предложил многочлен x 2 - x +41, который при всех целых x от 0 до 40 дает только простые числа. Эйлер не поленился проделать эти вычисления, хотя прекрасно знал, что многочлен с целыми коэффициентами не может при всех натуральных значениях аргумента принимать только простые значения. Сегодня, несмотря на усилия сотен профессионалов и тысяч дилетантов, мы по-прежнему не умеем вычислять сколь угодно большие простые числа, хотя знаем массу нюансов об их распределении. Один из самых ярких результатов этой области принадлежит академику Пафнутию Львовичу Чебышеву (1850) : число простых чисел не превосходящих n приблизительно равно при n ® Ґ Ферма ошибся, но Ферма был бы не Ферма, если бы позволил хоть одной своей теореме бесславно кануть в лету. «Проклятые числа как оборотни» вылезали в самых далеких от теории чисел исследованиях.
В 1796 г. 19-летний студент Геттингенского университета Карл Фридрих Гаусс произвел сенсацию, доказав теорему: правильный многоугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число его сторон равно 2 a p 1 p 2... p b , где все простые числа p i являются числами Ферма, т.е. имеют вид. То была месть Ферма спесивым геометрам. Теорема Гаусса подвела черту под многовековыми спорами относительно возможности построения правильных многоугольников и сэкономила массу времени любителям математики. Из этой теоремы следует, что можно построить правильные 3-, 5-, 17-, 257-, 65537- и другие многоугольники и нельзя построить, например, правильные 7-, 11-, 13- угольники. Для неверующих Гаусс не поленился построить правильный 17-угольник. Занимаясь тайнами простых чисел Ферма сформулировал много положений о представимости чисел квадратичными формами.
Например, он обнаружил следующие удивительно простые и глубокие закономерности: 1. Формой x 2 + y 2 представимы все простые числа, которые лежат в прогрессии 4 n +1, причем каждое из них представимо этой формой единственным образом. Ни одно простое число из прогрессии 4 n +3 не представимо суммою двух квадратов. 2. Формой x 2 +2y 2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8 n +1 и 8 n +3. Ни одно простое число из прогрессий 8 n +5 и 8 n +7 не представимо в виде x 2 +2 y 2 3. Формой x 2 -2y 2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8 n +1 и 8 n +7. Ни одно простое число из прогрессий 8 n +5 и 8 n +3 не представимо в виде x 2 -2 y 2 4. Формами x 2 +3y 2 и x 2 + xy + y 2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессии 3 n +1. Ни одно простое число из прогрессии 3 n +2 не представимо указанными формами Ферма оставил крайне мало пояснений, дающих возможность установить, как ему удалось получить эти в высшей степени общие результаты. Лишь перед смертью в письме к де Каркави Ферма частично обосновал положение (1) с помощью своего метода бесконечного спуска. Можно лишь пожалеть современников Ферма, которые регулярно получали вариации на тему утверждений (1) - (4) в качестве задач. Первые полные доказательства этих утверждений удалось получить лишь Эйлеру.
Попутно он сформулировал очень важную теорему о делимости - так называемой квадратичный закон взаимности, доказательство которого дал Гаусс. Через увлечение квадратичными формами прошли Лагранж, Лежандр, Чебышев, а в наше век - Вейль, Артин и многие другие блестящие математики. Как всегда идеи Ферма оказались чрезвычайно плодотворны в смысле построения далеко идущих обобщений и формирования новых понятий. Добрая половина терминов современной абстрактной алгебры возникла из попыток доказать утверждения Ферма Один из важнейших результатов Ферма получил специальное название «Малая теорема Ферма». Это фундаментальный факт теории делимости на простые числа: для любого простого p и любого aі 1, которое не делится на p , разность a p -1 -1 делится на p. Например, пусть a=5, p=2,3,7, 11. Тогда 5 2-1 -1=2Ч 2,5 3-1 -1=3Ч 8,5 7-1 -1=7Ч 2232,5 11-1 -1=11Ч 8878. Ферма высказал эту теорему в письме Френиклю де Бесси в 1640 г. с обычным для него замечанием: «... я бы Вам прислал доказательство, если бы не опасался быть слишком длинным»
Первое доказательство «Малой теоремы Ферма» дал Лейбниц. Затем Эйлер, начиная с 1736 г., публикует сразу три различных доказательства, которые показывают, что Ферма вполне мог уметь доказывать свою теорему. Потомки часто искали элементарные доказательства утверждений Ферма, пытаясь понять насколько лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновали Эйлера на протяжении всей жизни. В 1760 г. он получил существенное обобщение его «Малой теоремы» : пусть j ( m ) - число натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Тогда для любого m и любого aі 1, взаимно простого с m , разность aj ( m ) -1 делится на m. Эту терему Эйлер скромно опубликовал в качестве четвертого доказательства «Малой теоремы Ферма»